MAGNITUDES PROPORCIONALES (DIRECTA E INVERSA)

Consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

En la siguiente tabla se relaciona la superficie de una valla a pintar y la pintura empleada.

m2 de valla a pintar

1

1'5

2

4

7 a

Litros de pintura empleados

0'33

0'495

0'66

1'32

b 3

¿Cómo calculariamos los valores a y b del ejercicio anterior? 


Ejemplo 2

Se quieren transportar 1.200.000 Kg. de patatas de un almacén a distintas tiendas. En un determinado tipo de camión caben 8.000 Kg. ¿Cuántos viajes tendrá que hacer para transportar las patatas?. ¿Y si tuviéramos 3 camiones

 

Número de camiones

1

2

3

5

a

Número de viajes

150

75

50

10

Calcula el valor de a y b en la tabla.

Ejemplo 3

Observa el dibujo  que relaciona la altura de cada rectángulo con su base.

Rellena la siguiente tabla contando los cuadraditos de cada figura:

Rectángulo pequeño Rectángulo mediano Rectángulo
grande
Base del rectángulo
Altura del rectangulo

Contesta a la siguiente cuestión:

  1. ¿Existe alguna relación entre los tres rectángulos?
  2. Si un rectángulo tiene por altura 36 cuadraditos, ¿qué base tendría? 
  3. ¿Cuanto medira la altura del rectangulo que tiene por base 1 cuadradito?
  4. Este ejercicio a cuál crees que se parece de los dos ejercicios anteriores y porqué?

Ejemplo 4

El precio de un aparcamiento es:

Tiempo

Precio

Contesta:
  1. ¿Qué tipo de relación existe entre el precio y el tiempo?
  2. A un tiempo de de 4 horas ¿que precio tendriamos que pagar?
  3. Si hemos pagado 5 € , ¿cuánto tiempo hemos tenido el coche en el aparcamiento?

hasta 1 hora

1

hasta 2 horas

2

..................

.............

En todos estos ejemplos existe una relación entre dos magnitudes. Además, cuando una varía  provoca que varíe la otra. Podemos precisar aún más:

En el ejemplo 1:

- Al doble de m2 de valla corresponde doble cantidad de litros de pintura.

- Al triple de m2 de valla corresponde triple cantidad de litros de pintura.

- A la mitad de m2 de valla corresponde la mitad cantidad de litros de pintura.

En el ejemplo 3:

- A doble base corresponde doble altura.

- A triple base corresponde triple altura.

- A cuádruple base corresponde .... altura.

Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:

a doble .............. doble,

a mitad.............. mitad,

a triple ............. triple,

a un tercio.....un tercio,

etc .........................

decimos que las dos magnitudes son directamente proporcionales.

"La superficie de valla a pintar es directamente proporcional al volumen de litros de pintura".

"Las longitudes de las bases son directamente proporcionales a las longitudes de las alturas".

En el ejemplo 4 es conveniente observar que si sólo tomamos valores enteros puede parecer que existe proporcionalidad. No es así, como ponen de manifiesto los siguientes valores:

Tiempo

Precio

30 minutos

1

60 minutos

1

70 minutos

2

140 minutos

3

En este caso diremos que el precio del estacionamiento no es directamente proporcional al tiempo aparcado.

¿ Y el ejemplo 2 ?  Rellena la siguiente tabla en la libreta.

Cuando podemos utilizar este tipo de expresiones:

a doble .............. 

a triple..............

a cruadruple .............

a un tercio.....            

etc .........................

decimos que las dos magnitudes son inversamente proporcionales.

Observa la tabla de cada tipo de proporcionalidad y explica la relación matemática




Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando la razón entre dos valores correspondientes de ambas es constante. A ese número se le denomina constante o razón de proporcionalidad directa.
Intenta buscar una fórmula que te permita calcular un valor sabiendo los otros tres. Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de dos valores correspondientes de ambas es constante. Ese producto se denomina constante o razón de proporcionalidad inversa.




DEFINICIONES

Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando la razón entre dos valores correspondientes de ambas es constante. A ese número se le denomina constante o razón de proporcionalidad directa.

Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de dos valores correspondientes de ambas es constante. Ese producto se denomina constante o razón de proporcionalidad inversa.

Resuelve en la libreta los siguientes ejercicios:

  1. Indica cuales de los siguientes pares de mangnitudes son directamente o inversamente proporcionales (ten en cuenta que puede haber alguno que no sea nada).
  2. En un mapa, 14 cm representan 238 km en la realidad. ¿Por qué longitud vienen representados 306 km? Una longitud de 10 cm en el mapa, ¿qué longitud real representa?
  3. Si el tiempo empleado por 15 trabajadores en montar las luces de una calle ha sido 7 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores?
  4. Un barco lleva comida para 8 tripulantes y una travesía de 15 dias. Si sólo viajan 6 tripulantes, ¿para cuántos días tendrán?
  5. Si el precio de 9 menús es 166,50 €, ¿cuánto costarán 5 menús?