2.1 SIMPLE 2.2 COMPUESTA 2.3 AUTOEVALUACIÓN



2. CAPITALIZACIÓN

    La operación que consiste en invertir o prestar un capital, produciéndonos intereses durante el tiempo que dura la inversión o el préstamo, se llama Capitalización. Por el contrario, la operación que consiste en devolver un capital que nos han prestado con los correspondientes intereses se llama Amortización.

    Estudiaremos las leyes matemáticas que regulan las dos operaciones.

    El capital que se invierte se llama capital inicial C, el beneficio que nos produce se llama interés I y la cantidad que se recoje al final, sumando el capital y el interés, es el capital final, F. En la práctica, el interés se puede percibir dividido en periodos de tiempo iguales.

    El rédito R, o tanto por ciento es la cantidad que producen cien unidades -pesetas, euros, ... - del capital en cada periodo de tiempo. El tanto por uno i es la cantidad que produce una unidad en cada periodo. Se cumple: R = 100 . i.

    La capitalización puede ser simple o compuesta según que el interés no se acumule (simple) o se acumule al capital al finalizar cada periodo de tiempo (compuesta). En la capitalización simple el interés no es productivo y podemos disponer de él al final de cada periodo. En la compuesta, el interés es productivo -se une al capital para producir intereses en el siguiente periodo- pero no podemos disponer de él hasta el final de la inversión.

2.1. Capitalización simple.

    En la capitalización simple, el interés producido en todos y cada uno de los periodos de tiempo es el resultado de multiplicar el capital inicial por el tanto por ciento y dividir por cien; es decir, multiplicar el capital inicial por el tanto por uno: I = C . R / 100 = C . i . El capital final resulta al sumar el capital inicial y los intereses de todos los periodos.

    Si la inversión dura t periodos, para el cálculo del capital final se tienen las fórmulas: F = C + I.t = C + C.i.t = C (1 + i.t). Los sucesivos capitales forman una progresión aritmética cuyo primer término es C1=C y cuya diferencia es I. El capital final es el término de orden t+1 que se puede calcular con la correspondiente fórmula de las progresiones aritméticas: F=Ct+1=C1 + I.t.

Ejemplo.

  • Disponemos de 1.000.000 Ptas que invertimos al 5% anual simple durante tres años. Entonces, C = 1.000.000, R = 5% anual, i = 0,05 anual.
  • Utilizando la fórmula es más rápido: F=1.000.000x(1+0,05x3)=1.000.000 x 1,15=1.150.000
  •     La ventana que tienes a continuación te permite generar tus propios ejemplos. Debes rellenar o modificar las casillas correspondientes a los datos de la imposición: capital inicial, tipo de interés y número de años y pulsar el botón de introducir los datos. Obtendrás los intereses que recibirás cada año y los totales. Repite la actividad cuantas veces quieras introduciendo nuevos datos.

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    2.2. Capitalización compuesta.

        En la capitalización compuesta, el capital cambia en cada periodo, pues hay que sumar al capital anterior el interés producido en ese periodo. Designamos con C1 al capital inicial. El segundo capital C2 se obtiene sumando los intereses al primer capital: C2 = C1 + I1 . En el segundo periodo los intereses producidos I2 son mayores por ser mayor el capital C2 . Para el tercer periodo el capital es C3 = C2 + I2 . Y así sucesivamente. Designamos con Ck al capital en el periodo k e Ik el interés producido en ese periodo. Se tiene Ck = Ck-1+Ik-1. Pero como Ik = Ck.i, entonces Ck =Ck-1.(1+i).

        Si la inversión dura t periodos, los sucesivos capitales se obtienen multiplicando siempre por el mismo número (1+i) y forman una progresión geométrica cuyo primer término es el capital inicial C1 y cuya razón es r = (1+i). El capital final es el término de orden t+1 de la progresión: F=Ct+1. Utilizando la fórmula para calcular los términos de una progresión geométrica obtenemos: F=C1.(1+i)t.

    Ejemplo 2.

  • Disponemos de 1.000.000 Ptas que invertimos al 5% anual compuesto durante tres años. Entonces, Capital inicial = C1 = 1.000.000, R = 5% anual, i = 0,05 anual.
  • Utilizando la fórmula es más rápido: F = C1.(1+i)t = 1.000.000.(1+0,05)3 = 1.000.000 x 1,157625 = 1.157.625 Ptas.
  • Ejercicios:

    1. Calcula los capitales finales que produce un capital inicial de 8.000 euros invertido al 3% anual al cabo de 6 años en las dos formas que hemos estudiado: capitalización simple y compuesta.
    ¿Cuál es más rentable al final de los 6 periodos?
    Razona las ventajas e inconvenientes de ambos.

    2. Un banco nos ofrece un rédito del 8% anual en capitalización simple. Disponemos de 500.000 Ptas. ¿Cuánto tiempo necesito para que sumando los intereses disponga de 1.000.000 Ptas?

    3. El mismo ejercicio 2 pero con capitalización compuesta.

    Soluciones

        Como en el caso simple, la ventana que tienes a continuación te permite generar tus propios ejemplos. Debes rellenar o modificar las casillas correspondientes a los datos de la imposición: capital inicial, tipo de interés y número de años y pulsar el botón de introducir los datos. Obtendrás los intereses que recibirás cada año y los totales. Repite la actividad cuantas veces quieras introduciendo nuevos datos.

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    2.3 Cuestionario para autoevaluación.

        La ventana que viene a continuación te propone unas cuestiones para que tu mismo evalúes si has comprendido el tema. Contéstalas todas y comprueba el resultado. Medita sobre las respuestas y repítelo hasta que las respondas bien todas.

    Cuestionario