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1.1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS | 1.2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS | 1.3 AUTOEVALUACIÓN |
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1.1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS | 1.2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS | 1.3 AUTOEVALUACIÓN |
Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números.
Toda sucesión tiene una propiedad o ley de formación
de sus elementos.
Ejemplos de sucesiones:
A: 2,4,6,8,... es una sucesión infinita, el primer término es 2 como ley de formación los siguientes se obtiene sumando 2 en cada cada paso.
B: 0,5,4,2,9,8,6,7,3,1. Es una sucesión finita. Se trata de las cifras numéricas ordenadas alfabéticamente.
C: 1,2,3,4,5,... es la sucesión infinita de los números naturales. Es la sucesión fundamental, pues nos sirve para ordenar las demás.
D: 1,4,9,16,25,... es la sucesión de los cuadrados de los números naturales.
E: 1,1,2,3,5,8,13,... esta se llama Sucesión de Fibonacci. El primer y segundo elementos son 1,1. Los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.
F: 4,2,1, 0'5, 0'25, ... es una sucesión infinita en que el primer elemento es el cuatro y cada uno de los siguientes se obtiene dividiendo por 2 el anterior.
G: 3,3,4,6,5,4, ... es una sucesión infinita. Cada elemento es el número de letras que tiene la palabra que designa al correspondiente número natural.
Hay sucesiones numéricas de muchos tipos, dependiendo de la ley
de formación. Puedes ponerte ejemplos tú mismo: primero piensa
en la ley de formación y en el primer término y luego vete
obteniendo otros términos.
Para designar los términos de una sucesión cualquiera
utilizaremos la misma letra con subíndices a1, a2,
a3, a4,...,an, indicando que a1
es el primer término, a2 es el segundo, ... y an
es el término de orden n -n es cualquier número natural-
o término general de la sucesión. Por ejemplo, en
la sucesión 2,4,6,8,... pondremos a1=2, a2=4, a3=6,
a4=8, ... , an=2n.
A veces el término general de una sucesión se puede expresar
en función de los términos inmediatamente anteriores. Por
ejemplo, en la sucesión E de Fibonacci, se verifica an
= an-2+an-1. Estas sucesiones se llaman recurrentes.
Otras veces no es posible encontrar un expresión para el término
general y debemos conformarnos con la descripción de la sucesión;
por ejemplo, las sucesiones B y G.
Ejercicios:
1. Busca el término general de las sucesiones:
an: 5, 8, 11, 14,...Soluciones
bn: 580, 540, 500, 460, 420, ...
cn: 4, 2, 1, 0'5, 0'25, ...
dn: 1, 4, 9, 16, 25, ...
en: 1, 10, 100, 1000, ...
Estudiaremos con más detalle dos tipos de sucesiones: Las Progresiones Aritméticas y las Progresiones Geométricas.
Las Progresiones Aritméticas son sucesiones en las que cada término
se obtiene sumando una misma cantidad d -que puede ser positiva o negativa-
al término anterior. Es decir: an=an-1+d.
La cantidad d que se va sumando se llama diferencia.
Las sucesiones an y bn de los ejercicios anteriores
son progresiones aritméticas de diferencias d=3 y d=-40 respectivamente.
Conociendo el primer término
a1 y la diferencia
de una progresión aritmética se calcula el término
general de la sucesión por la siguiente fórmula:
Ejercicios:
Las Progresiones Geométricas son sucesiones en las que cada término
se obtiene multiplicando por una misma cantidad r -que puede ser positiva
o negativa- al término anterior. Es decir: an=an-1.r. La cantidad r por la que se va multiplicando se
llama razón. Las sucesiones cn y en
de los ejercicios anteriores son progresiones geométricas de razón
d=0'5 y d=10 respectivamente.
Conociendo el primer término s1 y la razón
de una progresión geométrica se calcula el término
general de la sucesión por la siguiente fórmula:
Ejercicios:
Aplicación a la Economía: Capitalización y Amortización
La ventana que tienes a continuación te permitirá
diseñar progresiones geométricas. Modifica el primer término,
la razón y el número de términos y observa cómo
evoluciona la progresión.
1.3 Cuestionario para autoevaluación.
La ventana que viene a continuación te propone unas cuestiones para que tu mismo evalúes si has comprendido el tema. Contéstalas todas y comprueba el resultado. Medita sobre las respuestas y repítelo hasta que las respondas bien todas.
Cuestionario