1.1 PROGRESIONES ARITMÉTICAS 1.2 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS 1.3 AUTOEVALUACIÓN



1.SUCESIONES

    Una sucesión numérica es un conjunto ordenado de números.
    Toda sucesión tiene una propiedad o ley de formación de sus elementos.

Ejemplos de sucesiones:

    A: 2,4,6,8,... es una sucesión infinita, el primer término es 2 como ley de formación los siguientes se obtiene sumando 2 en cada cada paso.
    B: 0,5,4,2,9,8,6,7,3,1. Es una sucesión finita. Se trata de las cifras numéricas ordenadas alfabéticamente.
    C: 1,2,3,4,5,... es la sucesión infinita de los números naturales. Es la sucesión fundamental, pues nos sirve para ordenar las demás.
    D: 1,4,9,16,25,... es la sucesión de los cuadrados de los números naturales.
    E: 1,1,2,3,5,8,13,... esta se llama Sucesión de Fibonacci. El primer y segundo elementos son 1,1. Los siguientes se obtienen sumando los dos anteriores.
    F: 4,2,1, 0'5, 0'25, ... es una sucesión infinita en que el primer elemento es el cuatro y cada uno de los siguientes se obtiene dividiendo por 2 el anterior.
    G: 3,3,4,6,5,4, ... es una sucesión infinita. Cada elemento es el número de letras que tiene la palabra que designa al correspondiente número natural. 

    Hay sucesiones numéricas de muchos tipos, dependiendo de la ley de formación. Puedes ponerte ejemplos tú mismo: primero piensa en la ley de formación y en el primer término y luego vete obteniendo otros términos.
    Para designar los términos de una sucesión cualquiera utilizaremos la misma letra con subíndices a1, a2, a3, a4,...,an, indicando que a1 es el primer término, a2 es el segundo, ... y an es el término de orden n -n es cualquier número natural- o término general de la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 2,4,6,8,... pondremos a1=2, a2=4, a3=6, a4=8, ... , an=2n.
    A veces el término general de una sucesión se puede expresar en función de los términos inmediatamente anteriores. Por ejemplo, en la sucesión E de Fibonacci, se verifica an = an-2+an-1. Estas sucesiones se llaman recurrentes.
    Otras veces no es posible encontrar un expresión para el término general y debemos conformarnos con la descripción de la sucesión; por ejemplo, las sucesiones B y G.

Ejercicios:
1. Busca el término general de las sucesiones:

an: 5, 8, 11, 14,...
bn: 580, 540, 500, 460, 420, ...
cn: 4, 2, 1, 0'5, 0'25, ...
dn: 1, 4, 9, 16, 25, ...
en: 1, 10, 100, 1000, ...
Soluciones

    Estudiaremos con más detalle dos tipos de sucesiones: Las Progresiones Aritméticas y las Progresiones Geométricas.

1.1 Progresiones Aritméticas

    Las Progresiones Aritméticas son sucesiones en las que cada término se obtiene sumando una misma cantidad d -que puede ser positiva o negativa- al término anterior. Es decir:  an=an-1+d. La cantidad  d  que se va sumando se llama diferencia. Las sucesiones an y bn de los ejercicios anteriores son progresiones aritméticas de diferencias d=3 y d=-40  respectivamente.
    Conociendo el primer término a1 y la diferencia de una progresión aritmética se calcula el término general de la sucesión por la siguiente fórmula:

    También es posible hallar la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. Para ello utilizamos la fórmula:
    La ventana que tienes a continuación te permitirá diseñar progresiones aritméticas. Modifica el primer término, la diferencia y el número de términos y observa cómo evoluciona la progresión.
 

Ejercicios:

2. Halla los términos a12 y b15 de las progresiones an y bn del ejercicio 1.
3. Halla la suma A12 de los 12 primeros términos de la progresión a y  la suma B15  de los 15 primeros términos de la sucesión bn.

Soluciones

1.2 Progresiones Geométricas  

    Las Progresiones Geométricas son sucesiones en las que cada término se obtiene multiplicando por una misma cantidad r -que puede ser positiva o negativa- al término anterior. Es decir:  an=an-1.r. La cantidad  r  por la que se va multiplicando se llama razón. Las sucesiones cn y en de los ejercicios anteriores son progresiones geométricas de razón d=0'5 y d=10  respectivamente.
    Conociendo el primer término s1 y la razón de una progresión geométrica se calcula el término general de la sucesión por la siguiente fórmula:


    También es posible hallar la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica. Para ello utilizamos la fórmula:

Ejercicios:

4. Halla los términos c8 y e7 de las progresiones cn y en del ejercicio 1.
5. Halla la suma C8 de los 8 primeros términos de cn y la suma E7 de los 7 primeros términos de en.

Soluciones

    Aplicación a la Economía: Capitalización y Amortización     

    La ventana que tienes a continuación te permitirá diseñar progresiones geométricas. Modifica el primer término, la razón y el número de términos y observa cómo evoluciona la progresión.


1.3 Cuestionario para autoevaluación.     

    La ventana que viene a continuación te propone unas cuestiones para que tu mismo eval˙es si has comprendido el tema. Contéstalas todas y comprueba el resultado. Medita sobre las respuestas y repítelo hasta que las respondas bien todas.

Cuestionario